Fx Options Binomial Baum

Eine modifizierte Binomialbaum-Methode für Währung Lookback-Optionen Zitieren Sie diesen Artikel als: Dai, M. Acta Math Sinica (2000) 16: 445. doi: 10.1007s101140000068 Die Binomialbaum-Methode ist die beliebteste numerische Ansatz für die Preisgestaltung Optionen. Bei den Optionen für die Währungsrückverfolgung ist dieses Verfahren jedoch nicht mit den entsprechenden kontinuierlichen Modellen konsistent, was zu einer langsamen Geschwindigkeit der Konvergenz führt. Auf der Basis des PDE-Ansatzes entwickeln wir ein konsistentes numerisches Schema, das sogenannte modifizierte Binomialbaumverfahren. Es besitzt eine Ordnung der Genauigkeit und seine Effizienz wird durch numerische Experimente demonstriert. Die Konvergenzbeweise werden auch in der numerischen Analyse und dem Begriff der Viskositätslösung erzeugt. Modified binomial tree method Währung Look-back-Optionen Konvergenz 1991 MR Subject Klassifizierung 90A09 35K85 35R35 Unterstützt von National Science Foundation of China (Nr. 19871062) Aufbrechen des Binomial-Modells, um eine Option Wert in der Finanzwelt, die Black-Scholes und die binomische Option Modelle Der Bewertung sind zwei der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Beide werden verwendet, um eine Option zu bewerten. Und jeder hat seine eigenen Vor-und Nachteile. Einige der grundlegenden Vorteile der Verwendung des binomischen Modells sind: Mehrperiodensicht Transparenz Fähigkeit, Wahrscheinlichkeiten zu integrieren In diesem Artikel gut erkunden Sie die Vorteile der Verwendung des binomialen Modells anstelle der Black-Scholes, bieten einige grundlegende Schritte zur Entwicklung des Modells und Erklären, wie es verwendet wird. Mehrfachperiodenansicht Das Binomialmodell ermöglicht eine mehrperiodische Sicht auf den zugrunde liegenden Vermögenspreis sowie den Preis der Option. Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis auf der Grundlage von Eingaben zur Verfügung stellt, erlaubt das Binomialmodell die Berechnung des Assets und die Option für mehrere Perioden zusammen mit dem Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten). Der Vorteil dieser mehrperiodischen Sicht ist, dass der Benutzer die Veränderung des Vermögenspreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option auf der Grundlage von Entscheidungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten bewerten kann. Für eine amerikanische Option. Die jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden können. Kann das Binomialmodell Einblick in, wenn die Ausübung der Option kann attraktiv aussehen und wenn es für längere Zeit gehalten werden sollte. Durch Betrachten des Binomialbaums der Werte kann man im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über die Übung auftreten kann. Wenn die Option einen positiven Wert hat, gibt es die Möglichkeit der Ausübung, während wenn sie einen Wert kleiner als Null hat, sollte sie für längere Zeit gehalten werden. Transparenz Eng verwandt mit der Mehrperiodenprüfung ist die Fähigkeit des Binomialmodells, Transparenz in den zugrunde liegenden Wert des Vermögenswertes und die Option, wie es durch die Zeit fortschreitet. Das Black-Scholes-Modell hat fünf Eingänge: Wenn diese Datenpunkte in ein Black-Scholes-Modell eingegeben werden, berechnet das Modell einen Wert für die Option, aber die Auswirkungen dieser Faktoren werden nicht periodisch aufgedeckt. Mit dem Binomialmodell sieht man die Veränderung des zugrunde liegenden Anlagenpreises von Periode zu Periode und die entsprechende Änderung des Optionspreises. Einbeziehung von Wahrscheinlichkeiten Die grundlegende Methode zur Berechnung des binomialen Optionsmodells ist, die gleiche Wahrscheinlichkeit für jede Periode für Erfolg und Misserfolg bis zum Optionsausfall zu verwenden. Jedoch kann man tatsächlich verschiedene Wahrscheinlichkeiten für jede Periode auf der Basis neuer Informationen, die als Zeitdurchläufe erhalten werden, integrieren. Beispielsweise kann es eine Wahrscheinlichkeit von 5050 geben, dass der zugrunde liegende Vermögenspreis in einer Periode um 30 erhöht oder gesenkt werden kann. Für die zweite Periode kann jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass der zugrunde liegende Vermögenspreis steigen wird, auf 7030 ansteigen. Wir sagen, dass wir eine Ölquelle auswerten, wir sind nicht sicher, was der Wert dieses Ölbohrlochs ist, aber es gibt eine 5050 Chance, dass die Preis steigen wird. Wenn die Ölpreise in Periode 1 steigen, was das Öl noch wertvoller macht und die Marktgrundlagen jetzt auf weiter steigende Ölpreise hindeuten, kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Preisaufwertung jetzt 70 betragen. Das Binomialmodell erlaubt dieser Flexibilität das Schwarz - Scholes-Modell nicht. Entwickeln des Modells Das einfachste binomische Modell wird zwei erwartete Renditen haben. Deren Wahrscheinlichkeiten sich zu 100 addieren. In unserem Beispiel gibt es zwei mögliche Ergebnisse für die Ölquelle zu jedem Zeitpunkt. Eine komplexere Version könnte drei oder mehr verschiedene Ergebnisse haben, von denen jeder eine Wahrscheinlichkeit des Auftretens gegeben wird. Um die Renditen pro Periode ab dem Zeitpunkt Null (jetzt) ​​zu berechnen, müssen wir eine Bestim - mung des Wertes des zugrunde liegenden Vermögenswertes ab einem Zeitpunkt vornehmen. In diesem Beispiel werden wir folgendes annehmen: Kurs des Basiswertes (P). 500 Call-Option Ausübungspreis (K). 600 Risikoloser Zinssatz für den Zeitraum: 1 Preisänderung pro Periode: 30 nach oben oder unten Der Kurs des Basiswertes beträgt 500, und in Periode 1 kann er entweder 650 oder 350 sein. Das wäre ein Gegenwert von 30 Anstieg oder Abnahme in einem Zeitraum. Da der Ausübungspreis der Call-Optionen, die wir halten, 600 beträgt, beträgt der Wert der Call-Option Null, wenn der zugrunde liegende Vermögenswert weniger als 600 beträgt. Wenn der Basiswert den Ausübungspreis von 600 übersteigt, wäre der Wert der Call-Option die Differenz zwischen dem Kurs des Basiswerts und dem Ausübungspreis. Die Formel für diese Berechnung ist max (P-K), 0. Angenommen, es gibt eine 50 Chance zu gehen und eine 50 Chance zu gehen. Anhand der Perioden 1 Werte als Beispiel berechnet dies als max (650-600, 0) 50max (350-600,0) 505050050 25. Um den aktuellen Wert der Call-Option zu erhalten, müssen wir die 25 in Periode 1 abzählen Zurück zu Periode 0, was 25 (11) 24,75 beträgt. Sie können nun sehen, dass sich bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeiten der Erwartungswert des Basiswerts ändert. Wenn die Wahrscheinlichkeit geändert werden soll, kann sie auch für jede Folgeperiode geändert werden und muss nicht immer gleich bleiben. Das Binomialmodell kann problemlos auf mehrere Perioden erweitert werden. Obwohl das Black-Scholes-Modell das Ergebnis eines verlängerten Verfalldatums berechnen kann. Das Binomialmodell erweitert die Entscheidungspunkte auf mehrere Perioden. Verwendungen für das Binomialmodell Das Binomialmodell kann nicht nur für die Berechnung des Wertes einer Option verwendet werden, sondern auch für Projekte mit hoher Unsicher - heit, Kapitalbudgetierung und Ressourcenallokation sowie Projekte mit mehreren Perioden Oder eine eingebettete Option, um fortzufahren oder zu bestimmten Zeitpunkten aufzugeben. Ein einfaches Beispiel ist ein Projekt, das Bohrungen für Öl mit sich bringt. Die Unsicherheit dieser Art von Projekt ergibt sich aus der mangelnden Transparenz, ob das gebohrte Land überhaupt Öl hat, die Menge des Öls, das gebohrt werden kann, wenn Öl gefunden wird und der Preis, zu dem das Öl einmal verkauft werden kann Extrahiert. Das binomische Optionsmodell kann dabei helfen, an jedem Punkt des Ölbohrprojekts Entscheidungen zu treffen. Nehmen wir an, wir entscheiden, zu bohren, aber die Ölquelle wird nur rentabel sein, wenn wir genug Öl finden und der Ölpreis einen bestimmten Betrag übersteigt. Es dauert eine volle Zeit, um festzustellen, wie viel Öl können wir so gut wie der Ölpreis zu diesem Zeitpunkt zu extrahieren. Nach dem ersten Zeitraum (z. B. ein Jahr) können wir anhand dieser beiden Datenpunkte entscheiden, ob wir das Projekt weiter bohren oder aufgeben wollen. Diese Entscheidungen können kontinuierlich durchgeführt werden, bis ein Punkt erreicht ist, wo es keinen Wert zum Bohren gibt, zu welchem ​​Zeitpunkt der Brunnen aufgegeben wird. The Bottom Line Das Binomialmodell ermöglicht mehrperiodische Ansichten des zugrunde liegenden Anlagenpreises und den Preis der Option für mehrere Perioden sowie die Reichweite der möglichen Ergebnisse für jede Periode und bietet eine detailliertere Ansicht. Während sowohl das Black-Scholes-Modell als auch das Binomialmodell zur Bewertung von Optionen verwendet werden können, besitzt das Binomialmodell einfach ein breiteres Anwendungsspektrum, ist intuitiver und einfacher zu bedienen. Im Binomialoptimierungsmodell ist eine verallgemeinernde numerische Methode verfügbar Für die Bewertung von Optionen. Das Modell unterscheidet sich von anderen Optionspreismodellen dadurch, dass es mit einem ldquodiscrete-timerdquo-Modell des variierenden Preises im Zeitablauf von Finanzinstrumenten das Modell in der Lage ist, eine Vielzahl von Bedingungen zu behandeln, für die andere Modelle nicht angewendet werden können. Die Optionsbewertung erfolgt im Wesentlichen über die Anwendung der Risikoneutralitätsannahme über die Laufzeit der Option, wenn sich der Kurs des Basisinstruments entwickelt. Das Binomialmodell wurde zuerst von Cox, Ross und Rubinstein (1979) vorgeschlagen. Methodik Das Binomial-Pricing-Modell verwendet ein zeitdiskretes Framework, um die Evolution des zugrunde liegenden Optionsschlüssels über ein Binomialgitter (Baum) für eine bestimmte Anzahl von Zeitschritten zwischen Bewertungsdatum und Optionslaufzeit zu verfolgen. Jeder Knoten in dem Gitter repräsentiert einen möglichen Preis des Basiswerts zu einem bestimmten Zeitpunkt. Diese Preisentwicklung bildet die Basis für die Optionsbewertung. Der Bewertungsprozess ist iterativ, beginnend bei jedem letzten Knoten, und arbeitet dann rückwärts durch den Baum zu dem ersten Knoten (Bewertungsdatum), wobei das berechnete Ergebnis der Wert der Option ist. Die Optionsbewertung unter Verwendung dieses Verfahrens ist wie beschrieben ein dreistufiger Prozeß: 1) Preisbaumbildung 2) Berechnung des Optionswertes an jedem Endknoten 3) Progressive Berechnung des Optionswertes an jedem früheren Knotenpunkt der Wert am ersten Knoten ist der Wert Der Option. Die Methode wird am besten am Beispiel veranschaulicht. 1) Der Binomialpreisbaum Der Baum der Preise wird durch Vorarbeiten vom Bewertungsdatum bis zum Verfall erstellt. Bei jedem Schritt wird davon ausgegangen, dass sich das zugrunde liegende Instrument um einen bestimmten Faktor - u oder d - nach oben oder unten bewegt. (Das Binomialmodell erlaubt nur zwei Zustände.) Wenn S der aktuelle Preis ist, dann wird der Preis in der nächsten Periode entweder S up oder S down sein, wobei S up S x u und S down S x d. Die Aufwärts - und Abwärtsfaktoren werden unter Verwendung der zugrunde liegenden Volatilität, Sigma und Jahren pro Zeitschritt berechnet, t: u exp (sigma radic t) d exp (- sigma radic t) 1 u Das obige ist der ursprüngliche Cox, Ross, amp Rubinstein (CRR) - Methode gibt es andere Techniken zur Erzeugung des Gitters, wie der Baum mit gleicher Wahrscheinlichkeit. 2) Optionswert an jedem Endknoten An jedem Endknoten des Baums - d. H. Nach Ablauf der Option - ist der Optionswert einfach sein intrinsischer oder Übungswert. Für einen Aufruf: Wert Max (S ndash Ausübungspreis, 0) Für einen Put: Wert Max (Ausübungspreis ndash S, 0) 3) Optionswert an früheren Knoten Bei jedem früheren Knoten wird der Wert der Option mit dem Risiko berechnet Neutralitätsannahme. Unter dieser Annahme entspricht der heutige faire Preis einer derivativen Sicherheit dem diskontierten erwarteten Wert seiner zukünftigen Auszahlung. Siehe Riskneutrale Bewertung. Der erwartete Wert wird hierbei mit den Optionswerten der späteren beiden Knoten (Option up und Option down) berechnet, die mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichtet werden - Wahrscheinlichkeit p eines Aufwärtsbewegs im Basiswert und Wahrscheinlichkeit (1-p) eines Abwärtstricks. Der erwartete Wert wird dann bei r abgezinst. Der risikoloser Zinssatz, der der Laufzeit der Option entspricht. Dieses Ergebnis, der Binomialwert, ist somit der faire Preis des Derivats zu einem bestimmten Zeitpunkt (d. h. an jedem Knotenpunkt), da die Entwicklung des Kurses des Basiswerts zu diesem Zeitpunkt gegeben ist. Der Binomialwert wird für jeden Knoten beginnend bei dem vorletzten Zeitschritt ermittelt und zum ersten Knoten des Baums, dem Bewertungstag, wo das berechnete Ergebnis der Wert der Option ist, arbeiten. Für eine amerikanische Option ist der Wert an jedem Knoten: Max (Binomialwert, Ausübungspreis), da die Option entweder vor dem Verfall gehalten oder ausgeübt werden kann. Der Binomialwert wird wie folgt berechnet. Binomial Valuep mal Option up (1-p) mal Option down Zeiten exp (- r mal t) pexp ((r-q) mal t) - d dividieren u - d q ist die Dividendenrendite des Basiswerts entsprechend der Laufzeit der Option. Beachten Sie, dass die alternative Bewertung Ansatz, Arbitrage-freie Preisgestaltung (Delta-Hedging), ergibt identische Ergebnisse siehe Rational Preisgestaltung. Beziehung zu Black-Scholes Ähnliche Annahmen untermauern sowohl das Binomialmodell als auch das Black-Scholes-Modell, und das Binomialmodell liefert somit eine diskrete Zeitnäherung an den kontinuierlichen Prozess, der dem Black-Scholes-Modell zugrunde liegt. Für die europäischen Optionen konvergiert der Wert des Binomialmodells auf die Schwarz-Scholes-Formel, wenn die Anzahl der Zeitschritte steigt. Binomial-Optionspreismodell Was ist das Binomial-Optionspreismodell Das Binomial-Optionspreismodell ist eine in den USA entwickelte Optionsbewertungsmethode Das Binomial-Optionspreismodell verwendet ein iteratives Verfahren, das die Spezifikation von Knoten oder Zeitpunkten während der Zeitspanne zwischen dem Bewertungstag und dem Optionsverfalldatum ermöglicht. Das Modell reduziert die Möglichkeiten von Preisänderungen und beseitigt die Möglichkeit der Arbitrage. Ein vereinfachtes Beispiel eines Binomialbaums könnte ungefähr so ​​aussehen: BREAKING DOWN Binomiales Optionspreismodell Das Binomial-Optionspreismodell setzt einen vollkommen effizienten Markt voraus. Unter dieser Annahme ist es in der Lage, eine mathematische Bewertung einer Option an jedem Punkt im angegebenen Zeitrahmen vorzusehen. Das binomische Modell nimmt einen risikoneutralen Ansatz zur Bewertung an und geht davon aus, dass die zugrunde liegenden Sicherheitspreise nur mit der Zeit ansteigen oder sinken können, bis die Option wertlos abläuft. Binomiales Preisbeispiel Ein vereinfachtes Beispiel für einen binomischen Baum hat nur einen Zeitschritt. Angenommen, es gibt eine Aktie, die bei 100 pro Aktie festgesetzt wird. In einem Monat wird der Kurs dieser Aktie um 10 steigen oder um 10 nach unten gehen, wodurch folgende Situation entsteht: Börsenkurs 100 Börsenkurs (nach oben) 110 Börsenkurs (Down-Zustand) 90 Als nächstes wird angenommen, dass eine Call-Option verfügbar ist Auf diesen Bestand, der in einem Monat ausläuft und einen Ausübungspreis von 100 hat. Im Aufwärtszustand ist diese Aufrufoption 10 wert, und im Down-Zustand ist sie 0 wert. Das Binomialmodell kann berechnen, was der Preis des Aufrufs ist Option sollte heute sein. Zur Vereinfachung wird davon ausgegangen, dass ein Anleger die Hälfte der Aktie kauft und eine Call-Option schreibt oder verkauft. Die Gesamtinvestition ist heute der Preis für eine halbe Aktie abzüglich des Optionspreises und die möglichen Auszahlungen am Ende des Monats: Kosten heute 50 - Optionspreis Portfoliowert 55 - max (110 - 100, 0) 45 Portfolio-Wert (Down-Zustand) 45 - max (90 - 100, 0) 45 Die Portfolio-Auszahlung ist gleich, egal wie sich der Aktienkurs bewegt. Angesichts dieses Ergebnisses, unter der Annahme keine Arbitrage-Chancen, sollte ein Investor verdienen die risikofreie Rate im Laufe des Monats. Die Kosten müssen gleich der Auszahlung sein, die mit dem risikolosen Zinssatz für einen Monat diskontiert wird. Die zu lösende Gleichung lautet also: Optionspreis 50 - 45 xe (risikofreie Rate x T), wobei e die mathematische Konstante ist 2.7183 Angenommen, der risikofreie Satz liegt bei 3 pro Jahr und T für 0,0833 (einer dividiert durch 12) ), Dann ist der Preis der Call-Option heute 5.11. Das Binomial-Optionspreismodell bietet aufgrund seiner einfachen und iterativen Struktur bestimmte einzigartige Vorteile. Da es zum Beispiel einen Strom von Bewertungen für ein Derivat für jeden Knoten in einer Zeitspanne bereitstellt, ist es für die Bewertung von Derivaten wie etwa amerikanischen Optionen nützlich. Es ist auch viel einfacher als andere Preismodelle wie das Black-Scholes-Modell.